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极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
一、极限知识要点
1.⑴第一数学归纳法：①证明当 
取第一个 
时结论正确；②假设当 
（ 
）时，结论正确，证明当 
时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设 
是一个与正整数 有关的命题，如果
①当 
（ 
）时， 成立；
②假设当 
（ ）时， 成立，推得 时， 也成立.
那么，根据①②对一切自然数 
时， 都成立.
2.⑴数列极限的表示方法：
① 
②当 
时， 
.
⑵几个常用极限：
① 
（ 
为常数）
② 
③对于任意实常数，
当 
时， 
当 
时，若a=1，则 
；若 
，则 
不存在
当 
时， 
不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果 
，那么
① 
② 
③ 
特别地，如果C是常数，那么
.
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当 
时，无穷等比数列的各项和为 
.
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3.函数极限；
⑴当自变量 
无限趋近于常数 
（但不等于 ）时，如果函数 
无限趋进于一个常数 
，就是说当 趋近于 时，函数 的极限为 .记作 
或当 
时， 
.
注：当 
时， 是否存在极限与 在 处是否定义无关，因为 并不要求 
.（当然， 在 是否有定义也与 在 处是否存在极限无关. 
函数 在 有定义是 
存在的既不充分又不必要条件.）
如 
在 
处无定义，但 
存在，因为在 处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果 
，那么
① 
② 
③ 
特别地，如果C是常数，那么
.
（ 
）
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
① 
② 
（0＜ ＜1）； 
（ ＞1）
③ 
④ 
， 
（ 
）
4.函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点 
连续，那么函数 
在点 
处都连续.
⑵函数f（x）在点 
处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点 处有定义；② 
存在；③函数f（x）在点 处的极限值等于该点的函数值，即 
.
⑶函数f（x）在点 处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点 处有下列三种情况之一时，则称 
为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点 处没有定义，即 
不存在；② 不存在；③ 存在，但 
.
5.零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数 
在闭区间 
上连续，且 
.那么在开区间 
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 
（ ＜ 
＜ 
）使 
.
⑵介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， 
，那么对于 
之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有一点 
，使得 
（ ＜ 
＜ ）.
⑶夹逼定理：设当 
时，有 
≤ ≤ 
，且 
，则必有 
注： 
：表示以 为的极限，则 就无限趋近于零.（ 
为最小整数）
6.几个常用极限：
① 
② 
③ 
为常数）
④ 
⑤ 
为常数）
二、极限与探索性问题
【命题趋向】
综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点:
1.数学归纳法
①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用).
②解答题大多以考查数学归纳法内容为主,并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目
③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法.在由n=k时命题成立,证明n=k1命题也成立时,要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧,这一点要高度注意.
2.数列的极限
①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,直接运用四则运算法则求极限.
②解答题大多结合数列的计算求极限等,涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目.
③数列与几何:由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形,通常相关几何量构成等比数列,这是一类新题型.
3.函数的极限
①此部分为新增内容,本章内容在高考中以填空题和解答题为主.应着重在概念的理解,通过考查函数在自变量的某一变化过程中,函数值的变化趋势,说出函数的极限.
②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算.
③利用两个重要极限求函数的极限.
④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.
4.在一套 高考试题 中,极限一般分别有1个客观题或1个解答题,分值在5分-12分之间.
5.在 高考试题 中,极限题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而极限题是高考中的得分点.
6.注意掌握以下思想方法
①极限思想:在变化中求不变,在运动中求静止的思想;
②数形结合思想,如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.
此类题大多以解答题的形式出现,这类题主要考查学生的综合应用能力,分析问题和学生解决问题的能力,对运算能力要求较高.
【考点透视】
1.理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
2.了解数列极限和函数极限的概念.
3.掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
4.了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
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